物理学では、変位、力、速度などは大きさと方向の両方を持つ。数学では、大きさと方向を持つ量をベクトル（vector）と呼ぶ。
ベクトルの幾何的表現と基本概念
我々は有向線分（directed line segment） を使ってベクトルを表す。有向線分には3つの要素がある：始点、方向、長さ。
- ベクトルの長さ： $\vec{AB}$ の大きさをベクトルの長さ（またはノルム）といい、$|\vec{AB}|$ と記す。
- 特殊なベクトル： 長さが0のベクトルをゼロベクトル （$\mathbf{0}$）。長さが1のベクトルを単位ベクトルと呼ぶ。
- 平行ベクトル： 方向が同じまたは逆の非ゼロベクトル。規定：$\mathbf{0}$ は任意のベクトルと平行である。
長さが等しく、方向が一致していれば、始点がどこにあっても、それらは等しいベクトルと呼ぶ。
$$\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b} \iff |\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| \text{ かつ方向が一致}$$
重要なポイント
ベクトルは自由である：長さが等しく、方向が一致していれば、それらは等しい。